|
|
==Да. Именно это. Правда при условии, что исходного спектра или сигнала не осталось. Это подразумевалось. И, по моему, было ясно. Хотя бы из моего предложения Вам определить состав исходного сигнала или спектра по прореженному спектру.
Не согласны? Так скажите же, что было в исходном спектре. Прореженный вариант которого Вам предложен.==
При прореживании по частоте задача сохранения всей информации в сигнале не ставилась. То есть, что из всего этого получится, остается на совести автора вопроса.
B давайте, все-таки, определимся. Если Вы рассматриваете только ПФ 1024 точки по отношению к ПФ 4096 точек, то тут все ясно. Если рассматриваются:
некое устройство обработки, в котором перед ПФ на 1024 стоит усреднение 4-ех последовательных временных фрагментов сигнала (устройство 1),
и ПФ на 4096 с тем же набором временных отсчетов с последующим прореживанием о частоте так, что остаются частотные отсчеты с номерами (числом периодов на интервале наблюдения) 0, 4, 8, 12, и т.д. (устройство 2),
то, как Вы сказали, оба устройства строго эквивалентны, то есть описываются одной и той же формулой. Но если прореживание по частоте в устройстве 2 провести по-другому, скажем, оставить частотные осчеты с номерами 1, 5, 9, и т.д. (ну чем не прореживание по частоте?), то получим два совершенно разных устройства.
==Если хотите - здесь полная аналогия с дискретизацией во времени.==
Позвольте не согласиться. Аналогию проводить нельзя, поскольку это две совершенно разные вещи, точнее, вполне может быть, что есть полная аналогия, только мне об этом не ведомо, почему так, попытаюсь объяснить. То, что называется обратным ПФ, является, как и прямое ПФ, преобразованием сигнала, представленного в неком полном и ортогональном, но не всегда нормированном, базисе, в другой полный и ортогональный и не всегда нормированный базис (прошу прощения за тавтологию типа базис и полный). И если теория равномерной дискретизации по времени (сигнал представлен в диагональном базисе) для сигналов с ограниченным спектром в тригонометрическом базисе, развита по полной программе, то теория дискретизации сигналов по частоте (сигнал представлен в тригонометрическом базисе) для сигналов с некими ограничениями на спектр в диагональном базисе развита очень слабо, за исключением тривиального для обоих базисов случая, когда отбрасываются осчеты (координаты) с нулевыми значениями. Другими словами, я не знаю, что будет с потерями информации при прореживании по частоте в нетривиальных случаях, то есть когда отбрасываются отсчеты с ненулевыми значениями. Если Вы знаете про теорию (основы, намеки) дискретизации сигналов, представленных в тригонометрическом базисе, то буду Вам очень признателен за ссылки на литературу.
==Предположим есть у Вас сигнал, какой-то, ограниченный по спектру.
И ничего о нем более неизвестно.
Вы его дискретизируете, соблюдая все правила по выбору частоты дискретиз. Потом по дискретному аналогу можете восстановить исходный, используя интеполяц. формулу. Ядро которой sin(Wd*t/2)/(Wd*t/2).
Wd=2*pi*Fdiskr. И этот sin(Wd*t/2)/(Wd*t/2) можно так же считать элементарным фильтром, только временным.==
Его не только можно, но и единственно возможно считать фильтром (коим он и является), поскольку в общем случае «интерполяционные» подходы приводят к нелинейным искажениям (не забывайте о заданном в топике вопросе, точнее просьбе :)))). Поясню. «фильтронутый» подход к интерполяции не вносит нелинейный искажений в сигнал (под нелинейными искажениями в данном случае понимается появление спектральных составляющих там, где их до интерполяции не было). Например, сплайн-интерполяция всех порядков такие искажения вносит по полной программе.
==Теперь снизьте частоту дискретизации, так чтобы она была меньше необходимой. Задача та же самая. Восстановить исходный из дискретного. То, что Вы его не восстановите это ладно, но Вы должны придумать какую-то процедуру восстановления.==
Позвольте, задача прореживания по частоте с сохранением ВСЕЙ информации о сигнале не стояла (простите за повторение). Но если прореживание по частоте проделывается, то, наверно, в этом есть некий, ведомый одному автору вопроса, смысл (то есть, этот момент, по-моему, не подлежит обсуждению).
==Или воспользоваться готовой, приведенной выше. Но с другой Wd, что даст другую ширину главного лепестка фильтра. А придумывание готовой может основываться только на интервале дискретизации (считаем, что о сигнале известно только написанное выше).==
Очень интересный момент. Момент действительно интересный, безотносительно к заданному в топике вопросу. Просматривая архив конференции, наткнулся на очень, на мой взгляд, любопытную вещь, связанную с восстановлением сигнала после неравномерной временной дискретизации. Сама идея такого деяния впрямую высказана не была, но по косвенным половым признакам стало понятно, что неравномерность Wd легко обходима с точки зрения восстановления сигнала. Намек на идею был высказан st256 некоторое время назад в DSP конференции. Да простит меня st256 за грубость, которую я себе позволил по отношению к нему некоторое время назад (по техническому вопросу он там явно был в сосоянии перевозбуждения), Надеюсь, что все участники тогдашнего диспута про себя досчитали до десяти, успокоились, приняли… к сведению и разошлись с миром. Так вот, сам не щупал, но очень похоже, что при непостоянной Wd сигнал восстанавливается. При этом АЧХ восстанавливающего фильтра есть величина постоянная (не зависящая от частоты дискретизации) и равная спектральному носителю исходного (до дискретизации) сигнала. Иными словами, частотный носитель восстанавливающего фильтра может быть и изменен (плохой случай, но вполне достижимый), а может быть и сохранен (то что нужно при восстановлении) при неравномерной по времени дискретизации.
==Спросите при чем восстановление? И какая связь с разрешением?
Ну а как определить, сколько было изменений исходного сигнала в интервале между 2 соседними отсчетами? И какой интервал между теми изменениями. То, что невооруженным глазом видно, это изменения на интерале больше равном интервалу дискретизации.
Со спектрами то же самое.==
Вообще говоря, не совсем так. Пример тому – субдискретизация или дискретизация на гармониках. Там между двумя отсчетами таких изменений может быть очень много. Но это не имеет существенного значения для вопроса частотного разрешения.
==БПФ это алгоритм конечного ПФ.
Т.е. над сигналом конечной длины.
В конце концов работа всегда с сигналами конечной длины, так что не важно БПФ оно или просто ПФ. Важно, что над сигналом конечной длины.==
Надеюсь, что тут, как бы, в запале сказано. Конечно, БПФ это просто некий алгоритм ДПФ (а не алгоритм конечного ПФ, т.е. над сигналом конечной длины.), из-за которого, БПФа и ему обратного, на мой взгляд, в умы начинающих вносится гораздо больше сумятицы, чем надо бы. Одна нормировка для ПФ действительного сигнала чего стоит (Кстати, для st256, вопрос Носталя по технике был связан именно с этой самой нормировкой. И заключался он не в том, почему это так, а в том, как на практике народ всю эту лабуду обходит).
==Спектр именно такого сигнала может быть восстановлен по своим выборкам, следующим с частотным интервалом не меньше чем 1/T, T - длительность сигнала. И формула восстановительная по сути та же. Исключая, что для дискретизир. еще и во времени сигнала будет не совсем sin(pi*f/F)/(pi*f/F)=sin(pi*f*T)/(pi*f*T). Но очень похоже -).
F=1/T - частотный интервал, T - длительность сигнала.
И этот a la sin(x)/x и есть элементарный фильтр ПФ, как Вы назвали.==
Очень может быть, но все это требует доказательств. И вообще, ИМХО, большим заблуждением является безоглядный перенос выводов теории дискретизации по времени на дискретизацию по частоте.
==Меняете частотный интервал -меняете длительность- меняете ширину лепестка.==
Не меняется длительность сигнала. Она как была 4096 точек, так и осталась для обоих устройств. У Вас нет подозрения, что Вы усреднением по времени как бы немного въехали в алгоритм быстрого ПФ по 4096 точкам :)))?
==Единственно на чем можно сыграть и в случае временного прореживания и в случае частотного - это какое-то дополнительное знание о сигнале.
Кроме ограничения спектра==
Дык, на этом и построена теория дискретизации по времени, на некой информации о спектре.
== или длительности. ==
Или еще каким-либо требованиям, но это шибко сложный вопрос, тут я, как уже говорил, пас.
==Сигнал, по другому, должен удовлетворять каким-то дополнительным требованиям. На этом основываются методы "сверхразрешения". ==
Тот же самый вопрос, каким? Не в этом ли суть условий допустимости частотной дискретизации (децимаци) без потери информации? То есть, дискретизации (по частоте) представленного в тригонометрическом базисе сигнала с целью сжать его, но не потерять информацию, содержащуюсю в сигнале? То, о чем я говорил выше. Если знаете что-то про такие требования, то поделитесь, пожалуйста.
E-mail: 
info@telesys.ru
