|
|
Я этого ответа и добивался.
--Но на этот вопрос можно дать точный ответ. Это можно сделать только в случае правильной спектральной децимации, то есть если отброшенные отсчеты или линейно зависимы от оставшихся, или нулевые. Но об этом Вы в своем вопросе ничего не сказали :))).--
А почему я должен был что-то говорить?. Речь шла о прореживание с оставлением 0,4,8,... и т.д. И не более.
Да, по поводу линейной зависмости. Вы как-нибудь этот вопрос рассмотрите для себя поподробнее. В приложении к спектру дискретизированного сигнала конечной длины.
А с разрешением - ну, насколько мне известно, разрешение определяется примерно так: это некоторое минимальное расстояние (частотное в данном случае) между 2-мя пиками равной интенсивности, при котором эти 2 пика еще не сливаются в 1.
Другое определение разрешения мне неизвестно.
Суть - участвуют 2 пика.
А под пиком в данном случае -"отклик" Фурье на синсуоиду.
Критерий слияния может быть разный, это другой вопрос.
Самый простой - визуальный. Я его и использовал.
Но критерий должен быть один и тот же и для исходного спектра и для его прореженного варианта. Отсюда и предложение - определить число пиков в исходном спектре. Только, не более.
Это речь о разрешении Фурье, как метода, что ли.
Можно говорить о разрешении, частотном в данном случае, сигнальном.
Т.е. есть 2 (как минимум) сигнала, во всем одинаковых, но с разными центральными частотами. Можно ли разделить эти 2 сигнала.
Разрешение в этом случае зависит, понятно, еще и от ширины ф-ии неопред. сигнала по частоте. Шумы - отдельная песня.
Но ведь опять получается - прореживанием спектра можно из 2-х различающихся по частоте сигналов получить нечто неопределенное, по которому ничего нельзя сказать сколько же сигналов было. И было ли вообще.
Собственно первый вариант - частный случай второго, только сигналы - синусы.
--
...Вы имели в виду БПФ с прореживанием по частоте по основанию 4, но только по 4096 точкам, а не по 1024. Так какой же все-таки у нас с Вами интервал наблюдения?
И даже если оставить только один частотный отсчет, а остальные отбросить, то он все равно останется выходом фильтра с 4096 отводам, и будет говорить только о том, что в сигнале есть частота n с амплитудой Х(n) и не более того, но частота n будет определена с точностью 1/4096, а не 1/1. О восстановлении сигнала после такого можно говорить только в одном случае, не мне Вам о нем говорить. И вообще не совсем понятна тут взаимосвязь восстановления с разрешением.
----
Интервал наблюдения у нас с Вами 4096 точек.
Беда только в том, что с сигналом на этом интервале всякие манипуляции проделываются. Либо это просто суммирование (усреднение) смежных кусков (аналог - прореживание, в общем случае 0,K,2K,...), либо суммирование с весом плюс гетеродинирование, непринципально отличающееся от усредн. (прореживание -L,K+L,2K+L,... L!=0).
Речь у нас шла о первом случае. Правда в последнем случае для действительного входного сигнала несколько легче, если в предел не упираться.
В любом случае что-то в сигнале теряется.
В результате для дальнейшего анализа, Фурье в частности, остается не 4096 точек, а меньше, в пределе одна.
Для этой одной, а она действительно один из выходов фильтра с 4096 отводами, точность определения частоты n с амплитудой X(n) дается всем интервалом. Если точнее, то точность определения проекции сигнала на эту частоту.
Но это только одна частота. По ней ничего нельзя сказать было ли что-нибудь кроме ее. А уж сказать сколько было ....
В разрешении частотном 2 сигнала на разных частотах участвуют, минимум.
В этом дело, а не в том, что точность определения отклика на любой из оставшихся частот определяется всем исходным интервалом наблюдения.
И совсем мало проку знать, что вот такая-то частота отброшена. Если хрен знает что на этой частоте было. И нет возможности узнать.
А восстановление и его связь с разрешением - так ведь если можно восстановить исходный спектр (сигнал) из его прореженного варианта - можно вернуть и исходное разрешение.
Хотя восстанавливать, повторю, я не просил.
Ну а поводу быстрых алгоритмов получения спектра от -бесконечности до текущего момента времени - назовите хоть один. Только про периодические сигналы, аналитику и т.п. не нужно, они ни при чем.
Периодические - ряд Фурье, достаточно периода. Аналитика - ее еще получить нужно, к общему случаю ее отнести вряд ли получится.
Я, честно говоря, не понимаю о какой быстроте можно говорить при обработке массива бесконечной размерности. И где взяли такой массив.
-----
== Дополнительной информацией (это к сверхразрешению) может быть например принадлежность сигнала к какому-то классу функций. Это только в качестве примера. ==
Вот именно это я имел в виду, говоря о дискретизации спектров.
-----
Вообще-то имелась ввиду дискретизация спектров с завышенным интервалом дискретизации. Или, по другому, о прореживании "правильно" продискретизированных спектров. В том смысле, что для восстановления исходного спектра из прореженного нужно знать что-то еще, кроме длительности сигнала. Тогда можно зацепиться.
Ну и аналогично для временной области.
С зашумленными сигналами - отдельная песня.
Вы, насколько я понял, говорили о дискретизации спектров вообще. Извините, если ошибся.
Я уже 2 раза шумы упоминал в этом ответе - только не для нового спора.
E-mail: 
info@telesys.ru
