Но вернемся к нашим полиномам уважаемые остепененные студенты-двоешники. :-))
Ответ на сформулированный St256 вопрос "можно ли построить такое скалярное произведение, чтоб функции x^n стали ортогональными?" такой.

Невозможно подобрать сколь-нибудь "разумное" выражение вида
int(u(x)f(x)v(x),dx)
где int(F(x),dx) означает интеграл от F(x) по х от а до b). Для формирования скалярного произведения (u,v), чтоб функции {1,x,x^2...x^n..} были ортогональны на действительном интервале (а..b).

Доказывается элементарно.
Допустим функция f(х) найдена. Положим запишем явное выражение скалярного произведения (x^k,x^k)
(x^k,x^k) = int((x^k)(x^k)f(x),dx) = int((x^2k)f(x),dx)
С другой стороны скалярное произведение x^2k и 1
(x^2k,1) = int((x^2k)f(x),dx) = (x^k,x^k),
что противоречит свойству ортогональности. Таким образом наше предположнение о сущестовании f(х) не соотвествует действительности.
Усе.

Доказательство, невозможности нормы вида
int(u(x)f(x)v(c-x),dx) и int(u(x)f(x)v(c+x),dx) ,
где с - произвольная постоянная оставлю вам двоим, в качестве домашнего задания.

ЗЫ в комплексной плоскости существуют линии на которых искомую норму построить можно, но это совсем другая история.