"необязательно, кстати...."
Да может и так случится что с некоторого i=N члены станут нулевыми для данного значения t
"то ли Вы не знаете, что такое предел"
В некоторых пространствах Гильберта базис n[i](t) имеет бесконечное (счетное) число членов. Когда будете брать сумму ряда вам неизбежно придется (возможно не явно) пользоваться определением суммы ряда.
А сумма ряда является пределом частичных сумм в простейшем случае или в случае суммирования по Чезаро пределом при параметре u -->1 предела частичных сумм. Так что предел не только никуда не уходил, но и не собирался. :-))
Зы Про бесконечный предел сами посмотрите хотя бы тут
http://e-science.ru/math/theory/?t=565