Отправлено Бяка 19 декабря 2003 г. 14:36 В ответ на: Ответ: отправлено st256 18 декабря 2003 г. 09:13

Пояснения добавлены в тексте.

1.
Пояснение. Простите, если обидел. Совсем не хотел этого делать, просто привел для ссылок в последующем тексте.

2. Субдискретизация. У Макса в первом томе очень наглядно, у Гольденберга, Матюшкина и Поляка в Справочнике обобщенная формула.

Пояснение. По сути, субдискретизация – это набор возможных интервалов частот дискретизации для полосовых сигналов, которые лежат между 2*(Fв-Fн) и 2*Fв. У Макса приведен вывод формул для расчета этих интервалов, у Гольденберга и компании приведены только формулы без вывода. В суть метода расчета можно легко вникнуть, прочитав http://www.analog.com/library/analogDialogue/archives/31-3/Selecting.html, тут субдискретизация называется undersampling. А вообще в литературе устоявшегося английского термина, обозначающего субдискретизацию, не встретил.

3. Если на входе системы АЦП+DDC ширина полосы аналогового сигнала Fв-Fн, а на выходе DDC ширина неискаженной дискретизацией полосы fв-fн (практически всегда (Fв-Fн)>>( fв-fн)), то играми с центральными частотами можно получить минимальную частоту дискретизации Fd= (Fв-Fн)+(fв-fн), то есть уже ощутимо меньше 2*(Fв-Fн). Такая идея в одной из статей в «Цифровой обработке сигналов» как-то промелькнула. Доказательство просто до безобразия, но его в литературе не встречал.

Пояснение. Предположим, что на вход АЦП подается сигнал от ПЧ с центральной 10 МГц и двусторонней полосой 500 кГц. Наблюдателя интересует один из каналов с полосой 10 кГц и центральной частотой 10+0.3 МГц. Частота дискретизации, согласно п.1, должна быть не менее 1 МГц (и то надо посчитать, а то может и не получиться). Такая частота дискретизации сохраняет всю информацию в полосе 500 кГц, но наблюдателю на всё, что не попадает в полосу его любимых 10 кГц, просто сильно мешает, и он их усиленно фильтрует, за одно понижая частоту следования отсчетов, чтобы лучше фильтровать. Спрашивается, зачем при дискретизации сохранять все 500 кГц? Совершенно незачем. Поэтому можно дискретизировать сигнал так, что в неинтересующие наблюдателя участки спектра может произойти затекание (aliasing) инверсного спектра. Далее чистая арифметика, которая и дает приведенный выше вывод.

4. Если сигнал периодический с периодом T и спектр его ограничен полосой (Fв-Fн), то играми с центральной частотой полосы можно получить минимальную частоту дискретизации Fs=(Fв-Fн). При этом произойдет трансформация спектра по известному закону, но ни одна компонента прямого и инверсного спектров на другую не наедет. Доказывается очень просто, в литературе не встречал. Но это уже в 2 раза меньше «полосового» Котельникова (п.1).

Пояснение. Сразу оговорюсь, что во всех приведенных выше и ниже формулах под Fв подразумевается не та верхняя частота в спектре сигнала, на которой еще есть что-то информативное, а та верхняя частота, на которой либо уже ничего нет, либо там что-то есть, но очень и очень маленькое и нам уже непригодное. Если эту оговорку не делать, то в п.4 более точная формула Fs=(Fв-Fн)+1/T, что на практике очень мало отличается от Fs=(Fв-Fн). Идея заключается в использовании полосатости спектра периодического сигнала. Представьте себе набор равноотстоящих друг от друга спектральных “палочек” прямого спектра, нарисованных сплошными линиями, и соответсвующий им набор “палочек” инверсного спектра, нарисованных пунктиром. Теперь двигайте все “инверсные” палочки по направлению к “прямым” палочкам до их полного наложения, то есть до тех пор, пока все палочки не наложаться друг на друга, не важно какой частоте они сначала соответствовали. А теперь отодвиньте набор инверсных палочек в любую сторону на половину расстояния между палочками. Искомая минимальная частота дискретизации есть расстояние между самыми крайними палочками (с одного края от прямого спектра, с другого края от инверсного) плюс две половинки величины 1/T по краям. То, что получилось на картинке есть спектр реального существующего действительного сигнала, который во временной области отличается от первоначального, но содержит в себе всю спектральную информацию первоначального, при этом неискаженную. Процесс восстановления первоначального сигнала очевиден – берем ПФ от получившегося, переставляем соответсвующим образом спектральные компоненты, инвертируем там где надо синусоидальные составляющие, делаем обратное ПФ. Спектральная картинка, которая получилась, есть идельный случай, такое возможно только при определенном соотношении полосы сигнала и центральной частоты. В общем случае (при произвольной центральной частоте) минимальная частота дискретизации получится токой же, но наборы “прямых” и “инверсных” палок будут циклически прокручены на целое число 1/T внутри 0-Fs каждый в свою сторону, что ничего по сути не меняет.

5. Если сигнал периодический с периодом T и спектр его ограничен сверху частотой Fв, то его можно дискретизировать с частотой Fs = 1/(n*T+1/(2Fв)), где n целое от нуля до +бесконечности (если, конечно, терпения хватит столько ждать:))). Со спектром просходит сжатие и, максимум, инверсия. Доказывается очень просто. В литературе такой крамолы и ереси не встречал. Но это уже меньше «полосового» Котельникова в разы. На практике применять при n>0 не советую, пока техника до таких вещей не доросла.

Пояснение. Тут опять использование полосатости спектра периодического сигнала. Возьмите те же палочки, что и в п.4, но расставьте их пошире. Теперь простая арифметическая задача: на какой длинны равные отрезки надо разбить ось частот, чтобы при наложении всех отрезков на первый, который слева утыкается в ноль, все спектральные палочки из положительной полуоси легли равномерно на левую половину интервала 0-1/Т, а из отрицательной полуоси на правую половину интервала 0-1/Т? Ответ – на отрезки, длинной (1/(n*T+1/(2Fв)). Вторая задача: на какой длинны равные отрезки надо разбить ось частот, чтобы при наложении всех отрезков на первый, который слева утыкается в ноль, все спектральные палочки из положительной полуоси легли равномерно на правую половину интервала 0-1/Т, а из отрицательной полуоси на левую половину интервала 0-1/Т? Ответ – на отрезки, длинной (1/(n*T-1/(2Fв)). Оба разбиения описывают процесс дискретизации.

6. То же, что и в п.5, но спектр имеет полосу Fв-Fн. По сути, все тоже самое, что и в п.5 но Fн отлична от нуля. Пока не выводил, а то уже почти 3 часа ночи, но свести п.6 к п.5 можно, «добив» исходный спектр нулевыми палками от нуля до Fн.

А вообще чем больше над этим размышляешь, то все больше и больше убеждаешься, что не по Котельникову дискретизировать надо, а по Найквисту. Но это уже другая тема.

===Тиснули бы Вы статью в "Цифровую обработку сигнаов", народ бы немного встряхнулся бы от спячки.
Издеваетесь? :)))
На кой черт я им нужен. Тиснуть я могу много чего интересного, только кто это будет печатать? Я бы даже в инет выложил что-нибудь, но так чтобы с формулами... Короче пропадет усё я чую невостребованое, а я загнусь от гиперпотенции, вызываемой кимчхи :)))==

Вовсе нет. Это один из самых лояльных к авторам журнал. Посылаешь текст, тебе присылают образец для проверки и всё.