Отправлено SМ 09 сентября 2003 г. 12:28 В ответ на: если есть время, опишите в чем идея метода авторегресии отправлено yes 09 сентября 2003 г. 09:38

На примере метода Юла-Уокера.
Имеем входной сигнал x(n). Целью построения авторегрессионной модели, как правило, является либо "линейное предсказание", либо параметрический спектральный анализ. Линейным предсказанием называется взвешенная сумма выборок входного сигнала (т.е. пропущенная через FIR-фильтр c коэфф. b(k)). Авторегрессионная модель формирования сигнала - это "чистый" БИХ c коэффициентами a(k), спектральная плотность мощности выходного сигнала которого (при подаче на вход бэлого шума) приближается к параметрам сигнала x(n). Считаем, что z-преобразованием сигнала является 1/(1-sum(a(k)*z^-k)). то есть сигнал является действительно авторегрессионным процессом. z-преобразование ошибки предсказания получается y(z) = (1-sum(b(k)*z^-k))/(1-sum(a(k)*z^-k)). В общем случае это можно записать без дроби суммой бесконечного количества слагаемых y(z) = N(z)*(1+sum(h(k)*z^-k)). Входной сигнал формируем, подавая на вход АР модели белый шум. Дисперсия этого сигнала будет сигма_вх^2*(1+sum(h(k)^2)). Отсюда видно - что минимум дисперсии ошибки предсказания будет тогда, и только тогда, когда a(k)=b(k).

Теперь по рассчету коэффициентов a(k). Ошибка предсказания для входного сигнала x(n) есть x(n)-sum(b(k)*x(n-k)). Возведя это хозяйство в квадрат получим - y(n)^2 = x(n)^2-2*x(n)*sum(b(k)x(n-k))+sum(sum(b(k)*b(m)x(n-k)x(n-m)). Усреднив полученное по ансамблю реализаций, дабы получить средний квадрат, получаем из слагаемых - x(n)^2 - это дисперсия входного сигнала. x(n)x(n-k) это R(k) - отсчет АКФ сигнала. x(n-k)x(n-m) это R(k-m). С учетом этого можно записать - сигма_вых^2 = сигма_вх^2 - 2*sum(b(k)R(k)) + sum(sum(b(k)b(m)R(k-m)))
продифференцировав по b(k) это выражение имеем - dсигма_вых/db(k) = -2*R(k)+2*sum(b(m)R(m-k)) для всех k 1..N. Получается, что для нахождения коэффициентов АР модели сигнала (которые равны коэффициентам линейного предсказания сигнала) надо решить систему уравнений R(k)= sum(b(m)R(m-k)). В матричном виде R*b=q, где R это корреляционная матрица сигнала, b - столбец коэффициентов линейного предсказания и q столбец значений АКФ для k=1..N. Это и есть та самая система уравнений Юла-Уокера. Автокорреляционная матрица R является матричей Теплица, докучи еще и Эрмитовой, по-этому оптимальным методом решения такой системы уравнений является рекурсивный алгоритм Левинсона-Дурбина, дающий на выходе значения коэффициентов АР-модели и дисперсию ошибки предсказания.

Как это прикрутить к адаптивной фильтрации - попытаться прикинуть, что на вход системы, которая является действительно авторегрессионной системой, подается не сигнал x(k), а бэлий шум. И рассчитать коэффициенты АР-модели этой системы. А вот как перейти к реальному входному сигналу от шума - эт уж думайте сами.

P.S.
АРСС - по аглицки ARMA - это модель формирования сигнала, состоящая не только из полюсов, а в виде фильтра общего вида - то есть есть и полюсы, и нули. Модель называется авторегрессионно-скользящего-среднего (Autoregressive Moving Average).