Ссылка на работу Котельникова - http://ufn.ru/ufn06/ufn06_7/Russian/r067f.pdf

==ДА НЕ ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ПРИ ПЕРЕМНОЖЕНИИ С ГРЕБЕНКОЙ ДИРАКА ПЕРЕХОД К КОЭФФИЦИЕНТАМ ЕЩЕ!!! ТОЛЬКО СПЕКТР РАЗМНОЖАЕТСЯ!!! Переход к коэффициентам осуществляется на следующем этапе.

Если же Вы просто возьмете отсчеты сигнала (без дельта-функций), то тогда спектр у Вас окажется равным... нулю.
==
Посмотрите по ссылке. Котельников сделал просто (две первые теоремы) - разложил спектральную функцию в ряд Фурье на конечном интервале частот. Вот откуда коэффициенты Фурье, которые при некоторых условиях пропорциональны мгновенным значениям функции во времени (отсчетам).
То, что спектр разможается, так это тоже, как бы, не совсем так. Ряд Фурье, в который Котельников разложил спектр на интервале, на всей частотной оси определяет периодическую функцию - это просто свойство ряда Фурье по синус-косинусному базису.
То, что в литературе называется умножением сигнала на гребёнку Дирака, у Котельникова - просто промежуточный результат, на котором он в своей работе даже не остановился. То есть, умножение на гребёнку Дирака - это есть СЛЕДСТВИЕ (обратное непрерывное преобразование Фурье от Xд(омега) по Романюку, которое берётся в рамках классического функционального анализа без привлечения матаппарата обобщенных функций), а не причина (суть дискретизации).
Формула восстановления тоже есть ряд, названный рядом Котельникова, но это не заслуга Котельникова, это математика такая. Интерполяцию с помощью sinc-ов описывал еще Лагранж.
В своей рабете Котельников использовал почти забытый ныне матаппарат действительного (не комплексного) преобразования и ряда Фурье, поэтому не пугайтесь у него странных формул:)