Требуется программист в Зеленограде
- обработка данных с датчиков; ColdFire; 40 тыс. e-mail:jobsmp@pochta.ru |
Есть преобразование Лапласа H(s)=Int(h(t)*exp(-st)dt), дающее (в данном случае) связь между имп. характеристикой аналогового фильтра и его ЧХ
Для дискретизир. сигнала оно вырождается в сумму.
H(s)~=sum(h(n*T)*exp(-s*n*T)). T=1/Fdiskr.
Поставим цель придумать преобразование, трансформирующее ФНЧ в ФНЧ, ФВЧ в ФВЧ, ПФ в ПФ и т.д. и удовлетворяющее остальным требованиям к бил. z преобразования. При этом вроде ясно, что импульсные х-ки аналогового и цифрового фильтра должны походить, по крайней мере по форме :-))
И есть Z преобразование H'(Z)=sum(h'(n)*Z^(-n)), дающее связь между ИХ и ЧХ цифрового фильтра. И h'(n)~=h(n), здесь приблиз. равенство отражает похожесть ИХ.
Даже не совсем формально можно записать Z^(-n)=exp(-s*n*T).
Или Z^(-1)=exp(-s*T).
Самое простое - линейное приближение экспоненты (Z^(-1)=exp(-sT)~=1-sT) оказалось не очень хорошим.
Хитрый народ решил объегорить природу и ему это удалось.
Хитрый народ записал тождество: exp(-sT)=exp(-sT/2)/exp(sT/2).
А потом линейно приблизил и экспонету в числителе и экспоненту в знаменателе. И получил Z^(-1)=exp(-sT)~=(1-(sT/2))/(1+(sT/2)).
Или s=(2/T)*(1-Z^(-1))/(1+Z^(-1)). Или в общем виде
s=g*(1-Z^(-1))/(1+Z^(-1)). И вот этот хитрый ход народа оказался удачным. Преобразование получилось простым,сохраняющим порядок, однозначным, без проблем с наложениями и т.д.
Но это преобразование трансформирует ФНЧ в ФНЧ, ФВЧ в ФВЧ, ПФ в ПФ и т.д.
Теперь поставим цель получить преобразование дающее комплексный полосовой фильтр из ФНЧ.
Можно вспомнить, как получалась ИХ коплексного полосового КИХ фильтра. Умножением на комплексную экспоненту.
По аналогии можно записать, что h'(n)~=h(nT)exp(j*w0*n), w0=2pi*F0*T=2pi*F0/Fdiskr.
И затем аналогичным образом искать приближение для exp(j*w0)*Z^(-1)=exp(-s*T). Результат и приведен в самом начале.
Копмлексный полосовой фильтр, кстати, понятие довольно универсальное.
ФНЧ - комплексный полосовой с центральной (w0)=0. ФВЧ - с центральной равной, половине дискретизации, или w0=pi.:-)